Compra quelle iFixit che sono di ottima fattura, dovrebbe essere questa:
https://eustore.ifixit.com/products/macbook-air-13-late-2010-2017-replacement-battery
Potresti provare a recuperare il backup e ripristinare solo le impostazioni dal menu generali / ripristina / ripristina impostazioni e vedere se risolve, altrimenti format e via da nuovo
Lo spegnimento, in generale, serve sempre. È come se tu non dormissi mai, prima o poi ti "blocchi".
Che poi il tuo problema sia anche hardware ci può stare, in quel caso va fatto cambiare lo schermo / il telefono in base a cosa vedono i tecnici.