disequazioni

[samuz93]

nelle disequazioni tipo questa: (guardate solo la prima riga)

trovo il denominatore comune e faccio i vari calcoli..

la regola dovrebbe dire che nelle disequazioni il denominatore non va mai tolto giusto? però perchè a scuola a volte lo si toglie e a volte no? se la regola lo vieta nelle disequazioni?

perchè facendo i compiti a casa lo tolgo e il risultato è giusto.. però a scuola a volte lo lasciamo e il risultato giusto comunque..

ci sono certe disequazioni in cui il denominatore va o non va tolto?

grazie! :lol:

[greatkekko]

Il caso che dici tu è quando l'incognita (la x) è al denominatore! In quel caso non puoi toglierlo!!

Ma in casi come quello che hai postato, hai fatto bene a toglierlo.

[desko]

In una disequazione puoi fare QUASI tutto quello che vuoi, purché tu lo faccia ad entrambi i membri.

L'unica eccezione è di non dividere o moltiplicare per zero.

Inoltre certe operazioni vanno fatte con cautela: se moltiplichi o dividi per una quantità negativa, il vrso della disequazione va girato e l'elevamento a potenza di esponente pari va fatto solo se entrambi i membri sono positivi.

Se compi operazioni che contengono l'incognita, prima di farle devi assicurarti di non ricadere in uno dei casi precedenti per particolari valori dell'incognita e nel caso occorre studiare separatamente i vari casi.

Così, per esempio, se hai un denominatore comune del tipo "x^2+1", puoieliminarlo in tutta tranquillità, perché per qualunque valore di x sarà sempre positivo.

[samuz93]

ahn ok ho capito.. grazie!

il coso sotto non l'ho fatto io era solo per un esempio..

quando al denominatore ho una X trovo il denomintaroe comune e faccio i calcoli.. poi posso portare il numeratore di destra a sinistra vero?

e il denominatore di destra lo cancello..

sono domande stupide ma doma ho una verifica su queste cose ed ora sono in confusione totale xD

[Andy-]

L'incognita si può sempre "togliere" dal denominatore! Basta moltiplicare per lo stesso fattore da una parte e dall'altra: da una parte così la variabile viene eliminata, dall'altra te la trovi al numeratore.

Ad esempio, se hai al denominatore X, moltiplichi da una parte e dall'altra per X; se hai al denominatore X + 1, moltiplichi per (X+1). Capito?

[samuz93]

capito.. però io penso di doverla tenere visto che ora sto facendo una roba tipo la tabella dei segni o cose simili.. e in teoria dovrei tenere anche il denominatore.. credo xD

una cosa non ho capito.. il segno di > o < o >= o <= quando va girato?

quando si moltiplica per un numero negativo? cioè ad esempio?

[iTia]

L'incognita si può sempre "togliere" dal denominatore! Basta moltiplicare per lo stesso fattore da una parte e dall'altra: da una parte così la variabile viene eliminata, dall'altra te la trovi al numeratore.

Ad esempio, se hai al denominatore X, moltiplichi da una parte e dall'altra per X; se hai al denominatore X + 1, moltiplichi per (X+1). Capito?

non puoi eliminare una variabile dal numeratore semplicemente perche' non sei sicuro di mantenere la coerenza. infatti se il valore della tua incognita fosse negativo moltiplicando non faresti una cosa giusta perche' dovresti anche cambiare il verso della disequazione. in generale l'incognita al denominatore non va mai tolta(salvo casi in cui sei sicuro che il denominatore sia sicuramente diverso e maggiore di zero, come per esempio avendo al denominatore x^2 +1).

[Andy-]

Infatti cambia l'ID, mi sembra si dica così, è passato un bel po' di tempo da quando facevo queste cose.

A seconda dei casi, bisogna assumere che X sia diverso da 0, da uno o più numeri numero o assumere che sia maggiore o minore di determinati valori.

[desko]

La variabile dal denominatore può essere eliminata, con la dovuta cautela, ma si può fare.

Oltre al caso che citavo nel mio post precedente, se ho una situazione del tipo:

(x+1)/(x-1) > (2-x)/(x-1)

innanzitutto devo porre (x-1) diverso da zero (e quindi x diverso da 1) come condizione di esistenza, poi distinguere i due casi:

1° se x-1>0 allora posso eliminare il denominatore senza ulteriori problemi

2° se x-1<0 allora posso eliminare il denominatore INVERTENDO IN SEGNO DI DISEQUAZIONE

Quindi, nel 1° caso avrò da risolvere x+1>2-x, da cui 2x>1, da cui x>1/2, soluzione che va intersecata con la condizione del primo caso (x-1>0 da cui x>1) e quindi la soluzione del primo caso è semplicemente x>1 (perché così x risulta automaticamente maggiore di 1/2).

Nel secondo caso invece devo risolvere x+1<2-x, da cui 2x<1, da cui x<1/2, da intersecare con x<1 e rimane semplicemente x<1/2.

Quindi in definitiva la soluzione è x<1/2 oppure x>1.

Spero sia sufficientemente chiaro, nonostante la mancanza di notazione matematica.

[desko]

Mi viene in mente solo ora un metodo forse migliore e più semplice: porta tutto al primo membro.

Riprendendo l'esempio del mio post precedente avresti:

(x+1)/(x-1) - (2-x)/(x-1) > 0

da cui con denominatore comune:

(x+1-2+x)/(x-1) >0

da cui:

(2x-1)/(x-1)>0

e poi procedi con lo studio dei segni di numeratore e denominatore, arrivando alle stesse conclusioni del mio post precedente, ma in modo sicuramente più pulito e lineare come ragionamento.

[Spiritello]

Concordo con quello che ha detto desko nel secondo post. Più che altro perchè togliere il denominatore da una disuguaglianza è si possibile, ma è un complicarsi la vita. Il modo piu semplice, del resto come ha detto nel secondo post, per risolverle è avere una cosa del tipo:

(frazione unica fatta di polinomio a numeratore e polinomio a denominatore)>0 (o <0)

Perchè puoi procedere con la discussione dei segni e risolvere in relativa semplicità. se riducessi il tutto a una disuguaglianza di polinomi tipo:

Polinomio 1 > Polinomio 2

L'unico modo che mi viene in mente per procedere alla soluzione sarebbe quello di disegnare le due funzioni e determinare graficamente quando una è maggiore dell'altra. Ma non è semplice come sembra, e può portare a svariati errori.

La sola cosa che vorrei sottolineare è che togliere il denominatore si può fare sempre, a patto di imporre che il polinomio che si semplifica non sia nullo (se lo fosse nel semplificare si i avrebbe una forma indeterminata tipo 0/0, ma la possibilità del denominatore nullo va esclusa sempre, diversamente si avrebbe una di visione per 0, quindi impossibile). Ma questo vale in caso a denominatore si abbia un polinomio, se x a denominatore non c'è puoi semplificare tranquillamente, l'esempio che hai postato ad inizio topic è corretto come procedimento.

[desko]

Mi permetto una precisazione su quanto detto da Spiritello: lui parla esplicitamente di polinomi e tutti gli esempi fatti riguardano questi, ma quanto detto da me e da altri si può applicare a qualunque disequazione, anche irrazionale o trascendente.

[samuz93]

oggi la prof ha detto una cosa..

se ci sono dei termini elevati per un numero dispari la parentesi compresa l'elevazione sparisce.. è vero?

tipo se cè: (x+2)^3 >= 0 diventa x+2 >= 0

è vero? cè da fidarsi?

quindi x^2 * (x+2)^3 <= 0 cosa diventa?

[Andy-]

Sicuro che non abbia detto che un qualunque polinomio, elevato per un numero pari, dà come risultato un valore sempre maggiore o uguale a 0?

[samuz93]

Sicuro che non abbia detto che un qualunque polinomio, elevato per un numero pari, dà come risultato un valore sempre maggiore o uguale a 0?

lei ci ha detto:

(x^2 - 4)^7 <= 0 quindi diventa x^2 - 4 <= 0

cosi lei ci ha spiegato.. boh

anche la verifica di doma sarà un disastro

[Andy-]

Ha ragione

[samuz93]

chi? la prof? quindi è corretto come ci ha spiegato?

e come va applicata questa cosa.. ogni volta che un qualcosa è elevato per un numero dispari?

poi avete presente nelle disequazioni quando si fa la tabella dei segni? il passaggio prima, cioè quello di trovare cosa è maggiore o minore al numero trovato..

se mi capita 2>=0 come devo farla la retta? e nella tabella cosa metto? tutto positivo o negativo?

[desko]

Ha ragione la prof: il fatto è che elevando qualcosa con un esponente negativo, il segno non cambia, quindi si può anche togliere che non ci interessa.

qualcosa^dispari > 0 ===> qualcosa > 0

Per l'ultima questione che sollevi, di fronte ad un 2>=0 devi chiederti: per quali valori di x è vera? e segnare dei +, per quali valori di x è falsa? e segnare dei -.

Ora, il caso che presenti non dipende da x, quindi è o sempre vera (quindi tutti +), o sempre falsa (quindi tutti -); lascio a te decidere quale dei due casi riguarda il tuo esempio.

[samuz93]

e per vederlo devo vedere il segno > o < all'inizio giusto?

[desko]

e per vederlo devo vedere il segno > o < all'inizio giusto?

Molto più semplicemente: 2>=0 sempre, o mai?